A estatística possui um ramo chamado, estatística descritiva, responsável por sumarizar e descrever conjuntos de dados. Nesse artigo vamos aprender como utilizar algumas medidas como: média, mediana e moda.
Para entender os conceitos e como calcular cada um dos conceitos vistos nesse artigo, vamos utilizar um exemplo base:
Entrevistamos um conjunto de 15 pessoas com o objetivo de identificar se aquelas que tinham curso superior, recebiam um salário melhor.
Essas pessoas foram convocadas aleatoriamente para responder ao questionário que perguntava qual o rendimento dela no ano de 2017. Para facilitar nossos cálculos utilizamos os valores arredondados para milhares de reais.
O resultado do questionário resultou nos seguintes dados: 110, 25, 50, 50, 55, 30, 35, 30, 4, 32, 50, 30, 32, 74, 60.
1. Como calcular a média aritmética?
Dado um conjunto de observações para calcular a média aritmética você deve somar os seus valores e dividir pelo número de observações.
O cálculo acima mostra que a média de rendimentos por ano das 15 pessoas questionadas foi de 44,4 o que equivale a R$ 44.400,00 reais. Se retirarmos a pessoa com rendimento anual de R$110.000,00, a média das 14 pessoas restantes ficará R$ 39.700,00. Se essa pessoa com o rendimento atípico for adicionada ao grupo o valor da média aumentara R$ 4700,00. Veja que no exemplo acima a média em questão é sensível à influências de observações extremas, desta forma ela não é considerada uma medida resistente.
Saiba mais em nosso post Média Simples e Média Ponderada: O Que É e Como Calcular? 📊
2. Como calcular a mediana?
A mediana M é o ponto central de uma distribuição, desta forma metade das observações são menores que a mediada e metade das observações são maiores que a mediana. Para fazer o calculo da mediana você deve seguir os passos:
- Ordene as observações do menor valor para o maior valor.
- Se o número de observações for um número ímpar a mediana é a observação (valor) central dessa lista ordenada. Para achar a mediana, faça (n + 1)/2 onde n é o número de observações.
- Exemplo de mediana: considerando os 15 rendimentos anuais vistos anteriormente o calculo da mediana pode ser feito da seguinte forma:
OBS.: note que a mediana é a oitava observação da lista ordenada.
- Se o número de observações for um número par a mediana M é a média das duas observações centrais na lista ordenada. A mediana será (n + 1)/2 a partir do valor mais baixo da lista.
- Exemplo de mediana: retirando o valor atípico da lista anterior (110) a lista ficará com 14 observações, são elas: 4 25 30 30 31 32 35 50 50 50 55 60 74
OBS.: a mediana é o ponto médio entre as observações (33,5). Para localizar o ponto medio na lista basta aplicar a formula (n + 1)/2, no exemplo acima 7,5 é a localização do ponto médio (entre a sétima e a oitava observação na lista ordenada).
Saiba mais em nosso post sobre Mediana: O Que É, Como Calcular e Sua Importância
3. Diferenças entre Média e Mediana
3.1. Definição e Sensibilidade a Valores Extremos
- Média:
- Calculada pela soma de todos os valores dividida pelo número de elementos.
- Influenciada por valores extremos (outliers), podendo distorcer a interpretação dos dados.
- Exemplo: Em um conjunto com salários muito altos, a média pode ficar artificialmente elevada.
- Mediana:
- Representa o valor central quando os dados estão ordenados.
- Não é afetada por outliers, sendo mais robusta em distribuições assimétricas.
- Exemplo: Em análises de renda, a mediana reflete melhor a realidade da maioria.
3.2. Representação dos Dados
- Média:
- Indica um “ponto de equilíbrio” matemático do conjunto.
- Útil quando os dados têm uma distribuição simétrica e sem valores atípicos.
- Mediana:
- Mostra o valor que divide os dados em duas partes iguais.
- Melhor para conjuntos com grandes variações ou distribuições enviesadas.
3.3. Quando Usar Cada Uma?
- Use a média quando:
- Os dados têm uma distribuição uniforme.
- Não há outliers significativos.
- O objetivo é obter um valor representativo para cálculos futuros.
- Use a mediana quando:
- Há valores extremos que podem distorcer a análise.
- A distribuição é assimétrica (ex.: renda, preços de imóveis).
- O foco é entender a tendência central sem influência de outliers.
De forma resumida, a média ajuda em cálculos e comparações gerais, enquanto a mediana é mais confiável em dados desbalanceados. Em muitos casos, o ideal é analisar ambas as medidas para ter uma visão mais completa.
Como calcular a moda?
É chamado de moda a observação (valor) que é mais frequente no conjunto analisado. Voltando para o nosso exemplo temos: 110 25 50 50 55 30 35 30 4 32 50 30 32 74 60. Observe que três pessoas receberam rendimento de 30, três pessoas receberam 50, duas pessoas receberam 32. Percebam que os números 30 e 50 se repetem três vezes cada um. Isso significa que o conjunto possui duas modas (30 e 50) e é chamado de bimodal.
Erros Comuns no Cálculo da Mediana
- Não ordenar os dados → A mediana exige que os valores estejam em ordem.
- Confundir posição par e ímpar → Em conjuntos pares, deve-se calcular a média dos dois centrais.
- Usar a mediana em dados qualitativos → Ela só se aplica a dados quantitativos ou ordinais.
Aplicações e Importância da Mediana
- Economia: Análise de renda familiar, onde outliers (milionários) distorcem a média.
- Saúde: Tempo de sobrevivência de pacientes, onde alguns casos extremos podem enviesar a média.
- Educação: Mediana de notas em vestibulares reflete melhor o desempenho típico.
- Machine Learning: Em algoritmos de agrupamento (clustering), a mediana é usada para reduzir o impacto de ruídos.
Curiosidades Surpreendentes Sobre a Mediana
A mediana, esse conceito aparentemente simples da estatística, guarda algumas peculiaridades fascinantes. Confira estas curiosidades que mostram por que ela é tão especial:
A Mediana é Mais Antiga do que Você Imagina
✅ Enquanto a média aritmética foi formalizada por matemáticos gregos, o conceito de mediana apareceu pela primeira vez no século XIV, no trabalho do estatístico Edward Wright, que a usou para análise de dados astronômicos.
✅ Foi só no século XIX, porém, que o matemático Gustav Theodor Fechner (pai da psicofísica) popularizou seu uso como uma medida robusta contra valores extremos.
A Mediana Pode Não Existir em Dados Categóricos
🔢 A mediana só faz sentido em dados numéricos ou ordinais (que podem ser ordenados).
❌ Se você tentar calcular a mediana de cores (“azul”, “verde”, “vermelho”), o resultado não terá significado, pois não há uma ordem numérica clara.
✅ Mas, se os dados forem ordinais (ex.: classificações “ruim”, “regular”, “bom”), a mediana pode ser usada!
A Mediana é “Resistente” a Golpes Estatísticos
💰 Imagine um país onde 99% das pessoas ganham R$ 2.000/mês, e 1% 12.000/mês, e 1% delas ganhem R$ 1.000.000/mês.
📊 Média salarial: Distorcida para cima (R$ 12.000).
📌Mediana salarial: Continua R$ 2.000, mostrando a realidade da maioria.
💡 Por isso, a mediana é usada em indicadores econômicos reais, como no Censo do IBGE e no relatório de desigualdade da ONU.
A Mediana Pode Ser um Número que Não Existe nos Dados
🔍 Em conjuntos com número par de elementos, a mediana é a média dos dois valores centrais – mesmo que esse valor não apareça nos dados originais!
📌 Exemplo:
Dados: 1, 3, 5, 7
Mediana: (3 + 5)/2 = 4 (mas 4 não está na lista original!).
A Mediana é Usada até em Video Games!
🎮 Alguns algoritmos de IA em jogos usam a mediana para suavizar movimentos de personagens, evitando que valores extremos (como um bug no sensor) causem comportamentos estranhos.
🖥️ Processamento de imagens: Filtros como o “filtro da mediana” removem ruídos de fotos sem borrar detalhes (usado em Photoshop e câmeras digitais).
A Mediana Tem um “Parente” Pouco Conhecido: A Pseudomediana
📊 Em estatística robusta, existe a pseudomediana de Hodges-Lehmann, uma variação que melhora a precisão em certas análises.
🧠 Ela é usada em testes não paramétricos (como o Teste de Wilcoxon) para comparar grupos sem assumir distribuição normal.
Se Todos Ganhassem o Mesmo Salário, Mediana e Média Seriam Iguais
⚖️ Em uma sociedade perfeitamente igualitária:
- Média = Mediana = Moda.
🌍 Mas no mundo real, quanto maior a diferença entre média e mediana, maior a desigualdade!
📉 Exemplo:
Brasil (alta desigualdade): Média muito maior que a mediana.
Suécia (baixa desigualdade): Média e mediana próximas.
Exemplo Real do Uso da Mediana: Análise de Renda Familiar no Brasil
Por que a Mediana é Melhor que a Média para Medir Renda?
Um dos melhores exemplos do uso prático da mediana está na análise de distribuição de renda, como no caso do Brasil. Enquanto a média pode ser distorcida por salários extremamente altos, a mediana revela o valor que divide a população em duas partes iguais, mostrando a realidade da maioria.
Dados Reais: Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD)
Segundo o IBGE, em 2022:
- Renda média mensal dos brasileiros: R$ 2.884
- Renda mediana mensal: R$ 1.450
O que isso significa?
- A média (R$ 2.884) é puxada para cima pelos salários altos de uma pequena parcela da população.
- A mediana (R$ 1.450) mostra que 50% dos brasileiros ganham até esse valor, refletindo melhor a realidade da maioria.
Conclusão: A Mediana Mostra a Desigualdade
Enquanto a média pode sugerir que a renda geral é maior, a mediana expõe a desigualdade social. Se a mediana é muito menor que a média, isso indica que poucos ganham muito e muitos ganham pouco.
Por isso, governos e economistas preferem a mediana para políticas públicas, como definição de salário mínimo e programas sociais, pois ela representa melhor a condição da população.
💡 Você sabia?
Nos EUA, o censo também usa a mediana para calcular a renda familiar, evitando distorções causadas por bilionários como Elon Musk ou Jeff Bezos.
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